Dann brauchst du dich vor einem Anruf nicht zu fürchten. Du beantragst ja kein Almosen, sondern forderst eine Leistung ein, die dir gesetzlich zusteht. Denn die Zustimmung ist ja, sofern deine neue Wohnung angemessen ist, eine reine Formalität. Das Jobcenter Essen ist verpflichtet, dem zuzustimmen, wenn die Notwendigkeit eines Umzugs bereits festgestellt wurde (was ja der Fall ist).
Zwei Wochen sollten mehr als angemessen sein, deine Anfrage zu beantworten.

Fakt ist: Das Jobcenter Trier-Saarburg kann dir da auch nur beratend zur Seite stehen, weil sie da keine Entscheidung treffen dürfen, sie sind nur dafür zuständig, den Umzug zu zahlen, sofern du denn eine Wohnung bekommst. Von daher bleibt nur der Weg zum Jobcenter Essen. Du kannst natürlich einen Anwalt beauftragen, aber den musst du auch selber bezahlen. Eine Klage vor dem Sozialgericht ist zu diesem Zeitpunkt und in diesem Fall allgemein auch nicht zielführend.

Ergo: Morgen anrufen und nachfragen, warum die Bearbeitung so lange dauert.