Alle Leistungen der Arbeitsförderung findest du in §19 SGB I aufgelistet. Zur näheren Zielbestimmung der Arbeitsförderung empfehle ich die Lektüre von §1 SGB III

Kurz und knapp: Da du nicht von Arbeitslosigkeit bedroht bist, sondern ganz im Gegenteil sogar eine Zusage für eine unbefristete Übernahme hast, sehe ich keine Chance für dich, Sozialleistungen zu erhalten.
Diese sind einfach nicht dafür gedacht, persönliche Wünsche und Vorlieben zu finanzieren.
Und mal ehrlich...teuer ist ein Umzug nicht, wenn man nicht allzu weit weg zieht und nicht unbedingt mit Umzugsunternehmen umzieht (ich bin vier Mal in zwei Jahren im Umkreis von 70 km umgezogen und hab insgesamt nicht mehr als 600€ für alle vier Umzüge gezahlt). Und wenn man wirklich weit weg zieht, ist es vielleicht sowieso sinnvoll, sich eine neue Wohnungseinrichtung zuzulegen.
Such dir ne Wohnung in der neuen Stadt, verkauf deine jetzige Wohnugseinrichtung, leg dir für die neue Wohnung ein Bett, nen Tisch und nen Stuhl zu und besorg den Rest von deinen ersten Gehältern. Oder miete dich für die ersten Monate in ein möbliertes Appartment oder eine Pension ein, bis du deine ersten Gehälter zur Verfügung hast.

Nach Sozialfall klingt deine Lage nun wirklich nicht.