Die erste Mahnung ist eine Zahlungserinnerung, aber es ist keine nötig um zu klagen. Aber eine Mahnung ist nötig, dass der Schuldner in Verzug gerät, dann kann man auf ihn die Kosten "abwälzen", die aufgrund des Verzugs den Gläubiger treffen.
Die erste Mahnung kann dann nicht angerechnet werden, weil der Gläubiger erst ab Verzug (also Zahlungsverzögerung + Mahnung) die zusätzlichen Kosten tragen muss. Mahnt man also selbst, spart man sich Geld, welches man beim Gläubiger nicht holen kann.
Man gerät nicht nur durch Mahnung in Zahlungsverzug, sondern auch wenn die vereinbarte Zahlungsfrist abgelaufen ist, außerdem auch automatisch 30 Tage nach Rechnungseingang.
30 Tage nach Rechnungseingang ist das automatisch, aber wenn man davor mahnt ist man auch in Verzug.
Der Schuldner gerät durch Mahnung in Verzug siehe §286 I BGB, das ist die erste Mahnung. Und die kann man dementsprechend, wenn man sie vom Anwalt machen lässt, nicht auf den Schuldner abwälzen (kostenmäßig), da der Schuldner nur für alle Kosten ab Verzug zahlt und man durch die Mahnung erst in Verzug gerät. Somit muss er die Kosten der Mahnung nicht zahlen.