Zitat:
Mysticus Insanus Einwand ist schon viel besser. Der Satz über die Unvollständigkeit ist natürlich ein Argument. Er beweist aber nicht, dass eine Aussage in einem mathematisches Konzept (z.B. die Mengenlehre) nicht beweisbar ist, dass es auch in allen anderen (z.B. die Topologie, die Algebra oder die Analysis) unbeweisbar ist. Im Gegensatz zu der Physik bauen die Konzepte der Mathematik aufeinander auf und widersprechen sich nicht. Ob es nun mit allen Mitteln unbeweisbare Aussagen gibt, kann ich nicht sagen; mir wäre aber kein Beweis bekannt, der dieses aussagt.

Axiome wiederrum sind nicht zwangsläufig unbeweisbar (bzw. sie sind so definiert, siehe unten). Axiome sind die Grundsteine, auf denen die mathematischen Konzepte aufbauen. Zeigt sich, dass sie beweisbar (mit Hilfe anderer Axiome) sind, dann fallen sie aus den Axiomen heraus.

Wenn ich es richtig in Erinnerung habe, besagt der Unvollständigkeitssatz, dass kein System (inkl. der Mathematik, aber nicht beschränkt auf diese) seine zugrundeliegenden Axiome jemals im Rahmen seiner eigenen Regeln beweisen kann. Insofern ist ein Axiom immer unbeweisbar; man kann die Aussage des Axioms beweisen, aber in dem Moment wo man dies tut, verändert man das System bzw. erschafft ein neues... und dieses beruht zwangsläufig wieder auf (anderen) Axiomen. Das meinte ich mit "eine Stufe nach hinten verlagern, aber nicht aufheben".

Zitat:
Axiome sind letzendlich Annahmen, die unserem logischen Verständis entsprechen. Würde man ohne Axiome auskommen (was letzendlich nicht undenkbar ist), so muss dennoch eines auf dem anderen aufbauen. Das heißt es muss eine Basis geben, von dessen Richtigkeit ausgehen können, egal wie unsere Logik geartet ist. Hier würde sich die Frage stellen: Woher kommt diese Basis?

Die Gültigkeit von Axiomen beruht grundsätzlich auf intuitiver Schlüssigkeit und nichts anderem.

Ein Wesen, das ohne Axiome auskommen könnte (und dessen Weltbild somit nicht auf Intution beruhen würde), müsste als Voraussetzung objektiv sein, sprich die Welt unmittelbar, ohne Filterung durch Sinneswahrnehmung, Erfahrungen, Gefühle etc., verstehen. Auf menschlicher Ebene ist das radikal unmöglich. Ein objektives Wesen erfüllt die (für meine Sichtweise) zentrale Bedingung, um als Gottheit bezeichnet zu werden.

Das nächstgelegene zu einem axiomfreien Leben, das mit menschlichen Fähigkeiten noch denkbar ist, wäre auf die Spitze getriebener radikaler Solipsismus - "Denken existiert" wäre in diesem System die vollständige Beschreibung des Gesamtuniversums. Aller Wahrscheinlichkeit nach keine (über)lebensfähige Sichtweise.

Zitat:
Bevor ich mich nun im Kreis drehe: Es ist die Frage an was man glaubt: An die Wissenschaft/Natur oder an ein übernatürliches Wesen. Du hast Recht, wenn du sagst: "unabdingbare Notwendigkeit an irgendwas zu glauben". Die Frage ist nur, ob es sich beim ersteren wirklich um einen Glauben handelt.

Kommt darauf an, wie man das Wort "glauben" definiert. Ich definiere es als "für wahr erachten, ohne einen objektiven Beweis zu haben", und nach dieser Def. ist Naturwissenschaft ganz zweifellos eine Frage des Glaubens.